Question

在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC．
（Ⅰ）求證：AB⊥SC；
（Ⅱ）設D，F(xiàn)分別是AC，SA的中點，點G是△ABD的重心，求證：FG∥平面SBC；
（Ⅲ）若SA=AB=2，AC=4，求二面角A-FD-G的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關系,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得SA⊥AB，AB⊥AC，從而AB⊥平面SAC，由此能證明AB⊥SC．
（Ⅱ）取BD中點H，AB中點M，連結AH，DM，GF，F(xiàn)M，由三角形中位線定理得FD∥SC，F(xiàn)M∥SB，從而平面FMD∥平面SBC，由此能證明FG∥平面SBC．
（Ⅲ）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面FDG的法向量和平面AFD的法向量，利用向量法能求出二面角A-FD-G的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵SA⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴SA⊥AB，又AB⊥AC，SA∩AC=A，
∴AB⊥平面SAC，
又AS?平面SAC，∴AB⊥SC．
（Ⅱ）證明：取BD中點H，AB中點M，
連結AH，DM，GF，F(xiàn)M，
∵D，F(xiàn)分別是AC，SA的中點，
點G是△ABD的重心，
∴AH過點G，DM過點G，且AG=2GH，
由三角形中位線定理得FD∥SC，F(xiàn)M∥SB，
∵FM∩FD=F，∴平面FMD∥平面SBC，
∵FG?平面FMD，∴FG∥平面SBC．
（Ⅲ）解：以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標系，
∵SA=AB=2，AC=4，∴B（2，0，0），D（0，2，0），H（1，1，0），
A（0，0，0），G（

2

3

，

2

3

，0），F(xiàn)（0，0，1），

FD

=（0，2，-1），

FG

=（

2

3

，

2

3

，-1），
設平面FDG的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • FD =2y-z=0 n • FG = 2 3 x+ 2 3 y-z=0

，取y=1，得

n

=（2，1，2），
又平面AFD的法向量

m

=（1，0，0），
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

2

3

．
∴二面角A-FD-G的余弦值為

2

3

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意向量法的合理運用．