Question

【題目】目前，新型冠狀病毒感染的肺炎疫情防控形勢嚴峻.口罩的市場需求一直居高不下.為了保障防疫物資供應，濰坊的口罩企業(yè)加足馬力保生產，上演了一場與時間賽跑的“防疫阻擊戰(zhàn)”.濰坊市坊子區(qū)一家口罩生產企業(yè)擁有1000平方米潔凈車間，配備國際領先的自動化生產線5條，技術骨干20余人.自疫情發(fā)生以來，該企業(yè)積極響應政府號召，保障每天生產一次性無紡布健康防護口罩5萬只左右.現從生產的大量口罩中抽取了100只作為樣本，檢測一項質量指標值，該項質量指標值落在區(qū)間[20,40）內的產品視為合格品，否則視為不合格品，如圖是樣本的頻率分布直方圖.

（1）求圖中實數a的值；

（2）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，對合格品進行等級細分：質量指標值落在區(qū)間[25,30）內的定為一等品，每件售價2.4元；質量指標值落在區(qū)間[20,25）或[30,35）內的定為二等品，每件售價為1.8元；其他的合格品定為三等品，每件售價為1.2元.

用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產品中抽到一件相應等級產品的概率.若有一名顧客隨機購買2只口罩支付的費用為X（單位：元）.求X的分布列和數學期望.

Answer 1

【答案】（1）；（2）分布列見解析，數學期望為

【解析】

（1）直接根據概率和為1計算得到答案.

（2）的可能取值為，計算概率得到分布列，再計算數學期望得到答案.

（1），解得.

（2），，

.

故的可能取值為，

，，

，，

.

故分布列為：

故數學期望為：.