Question

【題目】已知函數(shù)（）．

（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時，試問方程是否有實數(shù)根？若有，求出所有實數(shù)根；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2) 沒有實數(shù)根

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得在上小于等于0恒成立，從而可得，即可得到實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時， ，整理得，設(shè)，利用單調(diào)性求得；設(shè)，利用單調(diào)性求得，根據(jù)與在不同的值處取得，即可得到方程無實根．

試題解析：（1）由題知， ，設(shè)，

∵函數(shù)在上單調(diào)遞減

∴在上小于等于0恒成立.

∴解得

∴實數(shù)的取值范圍為．

（2）沒有實數(shù)根．

當(dāng)時， ，整理得.

設(shè)，則，

當(dāng)時， ，則在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時， ，則在上單調(diào)遞增.

∴．

設(shè)，則，

當(dāng)時， ，則在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時， ，則在上單調(diào)遞減，

∴，

∵與在不同的值處取得

∴根據(jù)函數(shù)圖象可知恒成立

∴方程無實根．