已知函數(shù)f(x)=cos2x+2
3
sinxcosx-sin2x.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和單調遞增區(qū)間;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若f(
A
2
)=2,a=
3
,b=1,判斷△ABC的形狀.
考點:三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦定理
專題:三角函數(shù)的圖像與性質,解三角形
分析:(Ⅰ)利用三角恒等變換可得f(x)=2sin(2x+
π
6
),利用正弦函數(shù)的性質可得f(x)的最小正周期和單調遞增區(qū)間;
(Ⅱ)由f(
A
2
)=2sin(A+
π
6
)=2,可得A=
π
3
,利用正弦定理可求得B=
π
6
,C=
π
2
,從而可判斷△ABC為直角三角形.
解答: 解:﹙Ⅰ﹚f(x)=cos2x+2
3
sinxcosx-sin2x=cos2x+
3
sin2x=2sin(2x+
π
6
),…(4分)
所以T=π…(5分)
2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈Z

得f(x)的增區(qū)間為[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
],k∈Z
.…(7分)
﹙Ⅱ﹚由f(
A
2
)=2,有f(
A
2
)=2sin(A+
π
6
)=2,
所以 sin(A+
π
6
)=1
…(8分)
因為0<A<π,得A+
π
6
=
π
2
,即A=
π
3
…(10分)
由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
sinB=
1
2

又b<a,B<A,
所以B=
π
6
,所以C=
π
2
….…(12分)
∴△ABC為直角三角形.…(13分)
點評:本題考查三角恒等變換的應用及正弦定理,著重考查正弦函數(shù)的單調性與三角形形狀的判定,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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在區(qū)間[-2,3]上隨機地取一個數(shù)a,則函數(shù)f(x)=
1
3
x3-ax2+(a+2)x有極值的概率為( 。
A、
1
2
B、
1
3
C、
2
5
D、
2
3

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已知P是平面區(qū)域
3x-y-6≤0
x-y+2≥0
x≥0
內的動點,向量
a
=(1,3),則
OP
a
的最小值為(  )
A、-1B、-12
C、-6D、-18

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知全集U={x|1≤x≤7,x∈Z},A={1,3,5,7},B={2,4,5},則B∩(∁UA)=( 。
A、{5}
B、{2,4}
C、{2,4,5,6}
D、{1,3,5,6,7}

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若lg2=a,lg3=b,則
lg15
lg12
等于( 。
A、
1+a+b
2a+b
B、
1+a+b
a+2b
C、
1-a+b
2a+b
D、
1-a+b
a+2b

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已知函數(shù)f(x)=a(x-1)2+x-1,g(x)=lnx.
(Ⅰ)若a=1,求F(x)=g(x)-f(x)在(0,+∞)上的最小值;
(Ⅱ)證明:對任意的正整數(shù)n,不等式2+
3
4
+
4
9
+…+
n+1
n
>ln(n+1)都成立;
(Ⅲ)是否存在實數(shù)a(a>0),使得方程
2g(x)
x
=f′(x+1)-(4a-1)在區(qū)間(
1
e
,e)內有且只有兩個不相等的實數(shù)根?若存在,請求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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一個扇形的周長為4,求扇形的半徑、圓心角各取何值時,此扇形的面積最大.

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如圖,河流航線AC段長40公里,工廠B位于碼頭C正北30公里處,原來工廠B所需原料需由碼頭A裝船沿水路到碼頭C后,再改陸路運到工廠B,由于水運太長,運費太高,工廠B與航運局協(xié)商在AC段上另建一碼頭D,并由碼頭D到工廠B修一條新公路,原料改為按由A到D再到B的路線運輸.設|AD|=x公里(0≤x≤40),每10噸貨物總運費為y元,已知每10噸貨物每公里運費,水路為l元,公路為2元.
(1)寫出y關于x的函數(shù)關系式;
(2)要使運費最省,碼頭D應建在何處?

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(1)求k的值;
(2)若f(1)=
3
2
,且函數(shù)f(x)在[1,t]上的值域為[
3
2
,
15
4
],求t的值;
(3)設函數(shù)g(x)=f(x)-f(2-x)+3,x1,x2是R上的任意兩個實數(shù),且x1+x2=1,若g(mx1)+g(mx2)恒為一個常數(shù),求非零常數(shù)m的值.

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