Question

已知F₁，F₂是橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下焦點，F₁是拋物線C₂：x²=4y的焦點，點M是C₁與C₂在第二象限的交點，且|MF₁|=

5

3

（1）求橢圓C₁的方程；
（2）與圓x²+（y+1）²=1相切的直線l：y=k（x+t），kt≠0交橢圓C于A，B兩點，若橢圓C上一點P滿足

OA

+

OB

=λ

OP

，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由C₂：x²=4y，知F₁（0，1），c=1，設M（x₀，y₀），x₀＜0，由已知條件推導出x0=-

2 6

3

，y0=

2

3

，由此能求出橢圓C₁的方程．
（2）由直線l：y=k（x+t），t≠0與圓x²+（y+1）²=1相切，求出k=

2t

1-t2

，且t²≠1，聯立y=k（x+t）與

y2

4

+

x2

3

=1，得（4+3k²）x²+6k²tx+3k²t²-12=0，由此利用韋達定理結合已知條件能求出λ的取值范圍．

解答： 解：（1）由C₂：x²=4y，知F₁（0，1），c=1，設M（x₀，y₀），x₀＜0，
∵M在拋物線C₂上，∴x0 2=4y₀，①
又|MF₁|=

5

3

，∴y0+1=

5

3

，②
由①②得x0=-

2 6

3

，y0=

2

3

，
∵點M在橢圓上，
∴2a=|MF₁|+|MF₂|=

5

3

+

(- 2 6 3 -0)2+( 2 3 +1)2

=4，
∴a=2，b²=4-1=3，
∴橢圓C₁的方程為

y2

4

+

x2

3

=1．
（2）由直線l：y=k（x+t），t≠0與圓x²+（y+1）²=1相切，
∴

|kt+1|

1+k2

=1，∵k≠0，∴k=

2t

1-t2

，且t²≠1，③
聯立y=k（x+t）與

y2

4

+

x2

3

=1，
消去y得（4+3k²）x²+6k²tx+3k²t²-12=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

6k2t

4+3k2

，
y1+y2=k(x1+x2)+2kt=

8kt

4+3k2

，
∵λ

OP

=

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)，
∴P（

-6k2t

(4+3k2)λ

，

8kt

(4+3k2)λ

），
又點P在橢圓C₁上，∴

12k4t2

(4+3k2)2λ2

+

16k2t2

(4+3k2)2λ2

=1，
∴λ2=

4k2t2

4+3k2

，④
由kt≠0，
把③代入④，得λ2=

4

( 1 t2 )2+ 1 t2 +1

，又t≠0，t²≠1，
∴(

1

t2

)2+

1

t2

+1＞0，且(

1

t2

)2+

1

t2

+1≠3，
∴0＜λ²＜4，且λ2≠

4

3

，
∴λ的取值范圍是（-2，-

2 3

3

）∪（-

2 3

3

，0）∪（0，

2 3

3

）∪（

2 3

3

，2）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．