Question

給出下列四個命題：
①函數(shù)y=sin（2x-

π

3

）的圖象可由函數(shù)y=sin 2x的圖象向右平移

π

3

個單位得到；
②函數(shù)y=lg x-sin 2x的零點個數(shù)為5；
③在銳角△ABC中，sin A+sin B+sin C＞cos A+cos B+cos C；
④“等比數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列”的一個充分不必要條件是“公比q＞1”
其中所有正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),簡易邏輯

分析：根據(jù)三角函數(shù)的平移變換，函數(shù)零點概念以及結(jié)合圖形的方法，銳角三角形中兩銳角的和大于

π

2

，以及等比數(shù)列在公比q＞1時的增減性即可判斷每個命題的正誤，從而找出正確命題的序號．

解答： 解：①要由sin2x得到sin（2x-

π

3

）=sin2（x-

π

6

），應(yīng)將sin2x的圖象向右平移

π

6

個單位，∴①錯誤；
②令lgx-sin2x=0得lgx=sin2x，∴原函數(shù)零點個數(shù)便是函數(shù)lgx和函數(shù)sin2x交點個數(shù)，所以作lgx與sin2x圖象如下：
lgx圖象經(jīng)過（1，0），（10，1），所以由圖象可以看出在x=1和x=10之間有5個交點；
∴原函數(shù)有5個零點，所以②正確；
③∵△ABC是銳角三角形，所以：A+B＞

π

2

，B+C＞

π

2

，C+A＞

π

2

；
∴A＞

π

2

-B，且A，

π

2

-B∈(0，

π

2

)；
所以sinA＞sin(

π

2

-B)，即sinA＞cosB；
同理sinB＞cosC，sinC＞cosA；
∴sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC，即③正確；
④公比q＞1不一定得到等比數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，比如等比數(shù)列：-1，-2，-2²，-2³，…；
該數(shù)列是首項為-1，公比為2的等比數(shù)列，顯然是遞減數(shù)列，所以④錯誤；
∴正確命題的序號是：②③．
故答案為：②③．

點評：考查三角函數(shù)的平移變換：注意平移的單位數(shù)要看x的變化，函數(shù)零點的概念，以及通過圖象求兩函數(shù)圖象交點個數(shù)的方法，以及在q＞1時等比數(shù)列的增減性．