Question

已知f（x）=log_a

1+x

1-x

（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定義域以及使f（x）＞0成立的x的取值范圍；
（2）證明f（x）為奇函數(shù)；
（3）試討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由

1+x

1-x

＞0，解出定義域，當(dāng)a＞1時，f（x）＞0，則

1+x

1-x

＞1，當(dāng)0＜a＜1時，f(x)＞0，則0＜

1+x

1-x

＜1，分類求解．（2）運用奇偶性定義證明判斷．
（3）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，0＜

1-x1x2+x1-x2

1-x1x2-x2+x1

＜1，f（x₁）-f（x₂）=log

( 1-x1x2+x1-x2 1-x1x2-x1+x2 ) a

（a＞0，且a≠1），再討論判斷f（x₁）與f（x₂）大小，即可判斷大小．

解答： 解：（1）∵

1+x

1-x

＞0，
∴

x+1

x-1

＜0，即(x+1)(x-1)＜0．
∴-1＜x＜1，
∴f（x）的定義域為（-1，1）
另當(dāng)a＞1時，f（x）＞0，則

1+x

1-x

＞1，
則

1+x

x-1

+1＜0，

2x

x-1

＜0
∴2x（x-1）＜0，
∴0＜x＜1故當(dāng)a＞1時，使f（x）＞0的x的取值范圍為（0，1）
當(dāng)0＜a＜1時，f(x)＞0，則0＜

1+x

1-x

＜1
則

1+x 1-x +1＞0， 1+x 1-x ＜0，

得-1＜x＜0，當(dāng)0＜a＜1時，
使f（x）＞0的x的范圍為（-1，0）
（2）證明：∵f(x)=loga

1+x

1-x

，
∴f(-x)=loga

1-x

1+x

=loga(

1+x

1-x

)-1=-lo

g

a

1+x

1-x

=-f(x)
∴f（x）中為奇函數(shù)，
（3）∵f（x）=log_a

1+x

1-x

（a＞0，且a≠1），
∴設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，0＜

1-x1x2+x1-x2

1-x1x2-x2+x1

＜1
f（x₁）-f（x₂）=log

( 1-x1x2+x1-x2 1-x1x2-x1+x2 ) a

（a＞0，且a≠1）．
當(dāng)a＞1時，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），f（x）的單調(diào)遞增．
當(dāng)0＜a＜1時，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），f（x）的單調(diào)遞減．
故當(dāng)a＞1時，f（x）的單調(diào)遞增．
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）的單調(diào)遞減

點評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，難度較大，運算要仔細認真．