如圖，已知拋物線上橫坐標為4的點到焦點的距離為5．

（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與拋物線C交于兩點，，且（a為正常數(shù)）．過弦AB的中點M作平行于x軸的直線交拋物線C于點D，連結(jié)AD、BD得到．
（i）求實數(shù)a，b，k滿足的等量關(guān)系；
（ii）的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不是定值，請說明理由．

（Ⅰ）（Ⅱ）（i）（ii）為定值

解析試題分析：(Ⅰ)依題意：，解得.拋物線方程為.
(Ⅱ)(i)由方程組消去得：.（※）
依題意可知：.
由已知得，.
由，得，即，整理得.
所以 .
(ii)由(i)知中點，所以點，
依題意知.
又因為方程（※）中判別式，得.
所以 ，
由（Ⅱ）可知，所以.
又為常數(shù)，故的面積為定值.
考點：本小題主要考查拋物線標準方程的求解，直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷和應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運算求解能力.
點評：判斷直線與拋物線的位置關(guān)系時，不要忘記驗證判別式

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知m>1，直線，橢圓C：，、分別為橢圓C的左、右焦點.
（Ⅰ）當直線過右焦點時，求直線的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點，△A、△B的重心分別為G、H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本題13分）設(shè)橢圓的左右焦點分別為，，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負半軸于點，且是的中點．

（1）求橢圓的離心率；
（2）若過點的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下過右焦點作斜率為的直線與橢圓相交于兩點，在軸上是否存在點使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且過點，為其右焦點.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過點的直線與橢圓相交于、兩點（點在兩點之間），若與的面積相等，試求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,已知點是橢圓的右頂點,若點在橢圓上,且滿足.(其中為坐標原點)

（1）求橢圓的方程;
（2）若直線與橢圓交于兩點,當時,求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓半徑為．記為以曲線與坐標軸的交點為頂點的橢圓．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線．是上異于橢圓中心的點．
（i）若（為坐標原點），當點在橢圓上運動時，求點的軌跡方程；
（ii）若是與橢圓的交點，求的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本題滿分10分） 已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,且過,設(shè)點.
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知中心在原點，焦點在坐標軸上的橢圓，它的離心率為，一個焦點和拋物線的焦點重合,過直線上一點M引橢圓的兩條切線，切點分別是A,B.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若在橢圓上的點處的橢圓的切線方程是. 求證:直線恒過定點；并出求定點的坐標.
（Ⅲ）是否存在實數(shù)，使得恒成立？(點為直線恒過的定點)若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（12分）已知橢圓的離心率為，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點，且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，
求面積的最大值．

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