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9.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,過B1作B1E⊥BD1于點E,則A、E兩點之間的距離為63a

分析 建立坐標(biāo)系,設(shè)BEBD1,根據(jù)B1E⊥BD1計算λ,得出AE的坐標(biāo),從而計算出|AE|.

解答 解:以B1為原點建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:
則B1(0,0,0),A(a,0,a),B(0,0,a),D1(a,a,0),
BD1=(a,a,-a),B1B=(0,0,a),
設(shè)\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{B{D}_{1}}=(λa,λa,-λa),∴\overrightarrow{{B}_{1}E}=\overrightarrow{{B}_{1}B}+\overrightarrow{BE}=(λa,λa,a-λa),
∵B1E⊥BD1,∴\overrightarrow{{B}_{1}E}•\overrightarrow{B{D}_{1}}=0,
∴λa2+λa2-a2+λa2=0,∴λ=\frac{1}{3}
\overrightarrow{BE}=(\frac{1}{3}a,\frac{1}{3}a,-\frac{1}{3}a),
\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=(-\frac{2}{3}a,\frac{1}{3}a,-\frac{1}{3}a),
∴|AE|=|\overrightarrow{AE}|=\sqrt{\frac{4{a}^{2}}{9}+\frac{{a}^{2}}{9}+\frac{{a}^{2}}{9}}=\frac{\sqrt{6}}{3}a
故答案為\frac{\sqrt{6}}{3}a

點評 本題考查了空間距離的計算,屬于中檔題.

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