Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

．
（1）若a≤4，說明函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義證明；
（2）請問y=f（x）在定義域內(nèi)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）任取x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，通過作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小，根據(jù)增函數(shù)的定義，只需說明f（x₁）＜f（x₂）即可．
（2）利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系．

解答： （1）解：a≤4，函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）的是單調(diào)增函數(shù)；
證明：任取x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x1+

a

x1

）-（x2+

a

x2

）=（x₁-x₂）+

a(x2-x1)

x1x2

=

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

，
因?yàn)?＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，a≤4，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）=x+

a

x

在（2，+∞）上為增函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是奇函數(shù)；
證明：∵函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對稱；
f（-x）=-x-

a

x

=-（x+

a

x

）=-f（x）；
所以函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是奇函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷；單調(diào)性的證明方法主要有：定義法；導(dǎo)數(shù)法，奇偶性的判定主要利用定義，要熟練掌握，屬于基礎(chǔ)題．