Question

已知函數(shù)f（x）=

-|x3-2x2+x| (x＜1) lnx (x≥1)

，若命題“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：分析x＜1的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)f（x）的圖象，命題“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命題，即為任意t∈R，且t≠0，使得f（t）＜kt恒成立，作出直線y=kx，設(shè)直線與y=lnx（x≥1）圖象相切于點(diǎn)（m，lnm），求出切點(diǎn)和斜率，設(shè)直線與y=x（x-1）²（x≤0）圖象相切于點(diǎn)（0，0），則有切線斜率k=1，再由圖象觀察即可得到范圍．

解答： 解：當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=-|x（x-1）²|=

x(x-1)2，x＜0 -x(x-1)2，0≤x＜1

，
當(dāng)x＜0，f′（x）=（x-1）（3x-1）＞0，則有f（x）得遞增，
當(dāng)0≤x＜1，f′（x）=-（x-1）（3x-1），則區(qū)間（0，

1

3

）遞減，
（

1

3

，1）遞增，
畫出函數(shù)y=f（x）在R上的圖象，如右：
命題“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命題，
即為任意t∈R，且t≠0，使得f（t）＜kt恒成立，
作出直線y=kx，設(shè)直線與y=lnx（x≥1）圖象相切于點(diǎn)（m，lnm），
則由（lnx）′=

1

x

，得到k=

1

m

，lnm=km，解得，m=e，k=

1

e

；
設(shè)直線與y=x（x-1）²（x≤0）圖象相切于點(diǎn)（0，0），
則y′=[x（x-1）²]′=（x-1）（3x-1），則有k=1，
由圖象可得，當(dāng)直線繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，轉(zhuǎn)到與與y=lnx（x≥1）圖象相切，
以及與y=x（x-1）²（x≤0）圖象相切時(shí)，直線恒在上方，即f（t）＜kt恒成立，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

1

e

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)及運(yùn)用，考查分段函數(shù)的圖象及直線與圖象之間的關(guān)系，考查存在性命題與全稱性命題的轉(zhuǎn)化，考查不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象之間的關(guān)系，是一道綜合題．