【題目】已知 .

(1)討論函數(shù)的單調性;

(2)記,設, 為函數(shù)圖象上的兩點,且.

(i)當時,若, 處的切線相互垂直,求證: ;

(ii)若在點, 處的切線重合,求的取值范圍.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析:(1)先求函數(shù)導數(shù),轉化為研究導函數(shù)零點,即方程=0的根的情況,當,導函數(shù)不變號,在上單調遞減,當時,有兩個不等根,列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律,確定對應單調區(qū)間,(2)(i)利用導數(shù)幾何意義化簡條件: , 處的切線相互垂直,得,利用基本不等式證明不等式,(ii)先分別求出切線方程,再根據(jù)切線重合得,消元,利用導數(shù)研究函數(shù) 單調性,確定函數(shù)值域,進而確定的取值范圍.

試題解析:解:(1),則,

時, , 上單調遞減,

時即時, ,

此時上都是單調遞減的,在上是單調遞增的;

(2)(i),據(jù)題意有,又

,

法1: ,

當且僅當, 時取等號.

法2: , ,

當且僅當時取等號.

(ii)要在點處的切線重合,首先需要在點處的切線的斜率相等,

時, ,則必有,即, ,

處的切線方程是:

處的切線方程是: ,

據(jù)題意則,

, , ,

, 上恒成立,

上單調遞增,

上單調遞增,

,再設,

, 上單調遞增, ,

恒成立,

即當時, 的值域是,

,即為所求.

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