Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+2

，求a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：依題意，可得

1

an+1

=

an+2

an

=1+

2

an

，即

1

an+1

+1=2（

1

an

+1），數(shù)列{

1

an+1

+1}是首項(xiàng)為

1

a1

+1=1+1=2，公比為2的等比數(shù)列，從而可求得a_n．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+2

，
∴

1

an+1

=

an+2

an

=1+

2

an

，
∴

1

an+1

+1=2（

1

an

+1），
∴數(shù)列{

1

an+1

+1}是首項(xiàng)為

1

a1

+1=1+1=2，公比為2的等比數(shù)列，
∴

1

an

+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴

1

an

=2ⁿ-1，
∴a_n=

1

2n-1

，
故答案為：

1

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比關(guān)系的確定，分析得到數(shù)列{

1

an+1

+1}是首項(xiàng)為

1

a1

+1=2，公比為2的等比數(shù)列是關(guān)鍵，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．