Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-（a-2）x-alnx，若f（x）在[1，2]上的最小值為1，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的值．

解答： 解：∵f（x）=x²-（a-2）x-alnx，
∴f′（x）=2x-（a-2）-

a

x

=

(x+1)(2x-a)

x

，
當(dāng)

a

2

≥2，即a≥4時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，f（x）_min=f（2）=4-2（a-2）-aln2=1，解得a=-

1

2+ln2

＜0（舍去）
當(dāng)1＜

a

2

＜2時(shí)，即2＜a＜4時(shí)，f（x）在[1，

a

2

]單調(diào)遞增，在（

a

2

，2]單調(diào)遞減，f（x）_min=f（

a

2

）=-

a2

4

+a-aln

a

2

＜0≠1，
當(dāng)

a

2

≤1時(shí)，即a≤2時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，f（x）_min=f（1）=3-a=1，
解得a=2，
綜上所述a的值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，屬于中檔題．