Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線的方程為y=

2

x，焦點(diǎn)到漸近線的距離為

2

．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）已知傾斜角為

3π

4

的直線l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓x²+y²=5上，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

b a = 2 | 2 c| 3 = 2 a2+b2=c2

，由此能求出雙曲線C的方程．
（2）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），設(shè)l的方程為x+y+m=0，由

x+y+m=0 x2- y2 2 =1

，得x²-2mx-m²-2=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線的方程．

解答： 解：（1）∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線的方程為y=

2

x，
焦點(diǎn)到漸近線的距離為

2

，
∴

b a = 2 | 2 c| 3 = 2 a2+b2=c2

，解得a=1，b=

2

，
∴雙曲線C的方程x2-

y2

2

=1．
（2）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），
直線l傾斜角為

3π

4

的直線，設(shè)l的方程為x+y+m=0，
由

x+y+m=0 x2- y2 2 =1

，得x²-2mx-m²-2=0，
則△=8m²+8＞0，x0=

x1+x2

2

=m，
y₀=-x₀-m=-2m，
∵點(diǎn)M（x₀，y₀）在圓x²+y²=5上，
∴m²+（2m）²=5，解得m=±1，
∴直線的方程為x+y+1=0，或x+y-1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線方程的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意中點(diǎn)坐標(biāo)公式的合理運(yùn)用．