Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=19，a₅+b₃=9．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=a_nb_n+

1

an•an+1

，S_n為數(shù)列{c_n}的前n項和，求S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用“錯位相減法”和“裂項求和”分組求和即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q．
∵a₃+b₅=19=1+2d+q⁴，
a₅+b₃=9=1+4d+q²．
化為2d+q⁴=18，4d+q²=8，
消d得2q⁴-q²-28=0，
∴q²=4（q＞0），
∴q=2，d=1，
∴a_n=n，bn=2n-1
（2）記Tn=1•20+2.21+3•22+…+n•2n-1，
2Tn=1•21+2•22+…+(n-1)•2n-1+n•2n，
∴-Tn=1+2+22+…+2n-1+n•2n=(1-n)•2n-1
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．
∵

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
記

1

an•an+1

的前n項和Q_n，
則Q_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，
∴Sn=Tn+Qn=(n-1)•2n+

2n+1

n+1

．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”和“裂項求和”、分組求和的方法，考查了推理能力和計算能力，屬于較難題．