Question

過點(diǎn)（1，0）的直線與拋物線y²=4x交于P、Q兩點(diǎn)，若將坐標(biāo)平面沿x軸折成直二面角，則翻折后線段PQ的長度最小值等于（　　）

• A、4
• B、2

  2

• C、

  3

  +1
• D、

  2

  +1

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間角

分析：設(shè)PQ的方程為：y=k（x-1），設(shè)P（x1，2

x1

），Q（x2，2

x2

），過P作PM⊥x軸，交x軸于M點(diǎn)，過Q作QN⊥x軸，交x軸于N點(diǎn)，聯(lián)立

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（4+2k²）x+k²=0，x1+x2=

4+2k2

k2

，x₁x₂=1，將坐標(biāo)平面沿x軸折成直二面角，折后|PQ|²=|QN|²+|PM|²+|MN|²=4（x₁+x₂）+（x₁-x₂）²，由此能求出翻折后線段PQ的長度最小值．

解答： 解：如圖，過點(diǎn)（1，0）的直線與拋物線y²=4x交于P、Q兩點(diǎn)，
∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），
∴直線PQ過F（1，0），
設(shè)PQ的方程為：y=k（x-1），
設(shè)P（x1，2

x1

），Q（x2，2

x2

），
過P作PM⊥x軸，交x軸于M點(diǎn)，|PM|=2

x1

，
過Q作QN⊥x軸，交x軸于N點(diǎn)，|QN|=2

x2

，
聯(lián)立

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
x1+x2=

4+2k2

k2

，x₁x₂=1，
將坐標(biāo)平面沿x軸折成直二面角，得到如下圖所示的圖形，
由圖形知，折后QN⊥平面PMN，
|PQ|²=QN²+|PN|²
=|QN|²+|PM|²+|MN|²
=4（x₁+x₂）+（x₁-x₂）²
=4（x₁+x₂）+（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=

16+8k2

k2

+

16+16k2+4k4

k4

-4
=8+

8

k2

+

16

k4

＞8．
∴|PQ|＞

8

=2

2

．
∴翻折后線段PQ的長度最小值等于2

2

．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查翻折后線段長度最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．