【題目】已知點是圓：上任意一點，點與點關(guān)于原點對稱，線段的垂直平分線與交于點.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）過點的動直線與點的軌跡交于兩點，在軸上是否存在定點使以為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1) (2) 在軸上存在定點，使以為直徑的圓恒過這個點.

【解析】試題分析：（1）由圓的方程求出F1、F2的坐標(biāo)，結(jié)合題意可得點M的軌跡C為以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，并求得a，c的值，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；

（2）直線l的方程可設(shè)為，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出A，B橫坐標(biāo)的和與積，假設(shè)在y軸上是否存在定點Q（0，m），使以AB為直徑的圓恒過這個點，可得即．利用向量的坐標(biāo)運算即可求得m值，即定點Q得坐標(biāo)．

試題解析：

解：（1）由題意得，

∴點的軌跡為以為焦點的橢圓

∵，

∴

∴點的軌跡的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)其方程為，設(shè)

聯(lián)立可得，

由求根公式可得

假設(shè)在軸上存在定點，使以為直徑的圓恒過這個點，

則即

∵

，

，

由解得

∴在軸上存在定點，使以為直徑的圓恒過這個點.

當(dāng)直線的斜率不存在時，經(jīng)檢驗可知也滿足以為直徑的圓恒過點.

因此在軸上存在定點，使以為直徑的圓恒過這個點.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)， 是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩個不同的點，連接交橢圓于另一點，證明直線與軸相交于定點；

(3)在(2)的條件下，過點的直線與橢圓交于， 兩點，求的取值范圍.

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【題目】為了普及環(huán)保知識增強環(huán)保意識，某校從理工類專業(yè)甲班抽取60人，從文史類乙班抽取50人參加環(huán)保知識測試 附：k2= ，n=a+b+c+d

P（K2＞k0）

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879


（1）根據(jù)題目條件完成下面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷你是否有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識與專業(yè)有關(guān)

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

甲班

乙班

30

總計

60


（2）為參加上級舉辦的環(huán)保知識競賽，學(xué)校舉辦預(yù)選賽，預(yù)選賽答卷滿分100分，優(yōu)秀的同學(xué)得60分以上通過預(yù)選，非優(yōu)秀的同學(xué)得80分以上通過預(yù)選，若每位同學(xué)得60分以上的概率為 ，得80分以上的概率為 ，現(xiàn)已知甲班有3人參加預(yù)選賽，其中1人為優(yōu)秀學(xué)生，若隨機變量X表示甲班通過預(yù)選的人數(shù)，求X的分布列及期望E（X）．

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【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若時恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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【題目】2017年12月4日0時起鄭州市實施機動車單雙號限行，新能源汽車不在限行范圍內(nèi)，某人為了出行方便，準(zhǔn)備購買某能源汽車.假設(shè)購車費用為14.4萬元，每年應(yīng)交付保險費、充電費等其他費用共0.9萬元，汽車的保養(yǎng)維修費為：第一年0.2萬元，第二年0.4萬元，第三年0.6萬元，…，依等差數(shù)列逐年遞增.

（1）設(shè)使用年該車的總費用（包括購車費用）為，試寫出的表達式；

（2）問這種新能源汽車使用多少年報廢最合算（即該車使用多少年平均費用最少），年平均費用的最小值是多少？

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【題目】設(shè)集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a﹣1）x+（a2﹣5）=0}

（1）若A∩B={2}，求實數(shù)a的值；

（2）若A∪B=A，求實數(shù)a的取值范圍．

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【題目】已知拋物線的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準(zhǔn)線于兩點.

(1)若在線段上， 是的中點，證明： ；

(2)若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.

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【題目】(1)求過點P(2,3)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程．

(2)已知直線l平行于直線4x＋3y－7＝0，直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長是15，求直線l的方程．

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(1)當(dāng)a＝1時，求函數(shù)f(x)的值域；

(2)若f(x)≤－alnx＋4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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