Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b∈R）滿足條件：①當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）的最大值為0，且f（x-1）=f（3-x）成立；②二次函數(shù)f（x）的圖象與直線y=-2交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=4
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求最小的實(shí)數(shù)n（n＜-1），使得存在實(shí)數(shù)t，只要當(dāng)x∈[n，-1]時(shí)，就有f（x+t）≥2x成立．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可假設(shè)f（x）=a（x-1）²．（a＜0），令a（x-1）²=-2，x=1±

-2 a

，求解即可得出解析式．
（Ⅱ）利用不等式解得-t-1-2

t

≤x≤-t-1+2

t

，又f（x+t）≥2x在x∈[n，-1]時(shí)恒成立，轉(zhuǎn)化為令g（t）=-t-1-2

t

，易知g（t）=-t-1-2

t

單調(diào)遞減，
所以，g（t）≥g（4）=-9，得出n能取到的最小實(shí)數(shù)為-9．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x-1）=f（3-x）可知函數(shù)f（x）的對稱軸為x=1，
由f（x）的最大值為0，可假設(shè)f（x）=a（x-1）²．（a＜0）
令a（x-1）²=-2，x=1±

-2 a

，則易知2

-2 a

=4，a=-

1

2

．
所以，f（x）=-

1

2

（x-1）²．
（Ⅱ）由f（x+t）≥2x可得，-

1

2

（x-1+t）²≥2x，即x²+2（t+1）x+（t-1）²≤0，
解得-t-1-2

t

≤x≤-t-1+2

t

，
又f（x+t）≥2x在x∈[n，-1]時(shí)恒成立，
可得由（2）得0≤t≤4．
令g（t）=-t-1-2

t

，易知g（t）=-t-1-2

t

單調(diào)遞減，
所以，g（t）≥g（4）=-9，
由于只需存在實(shí)數(shù)，故n≥-9，則n能取到的最小實(shí)數(shù)為-9．
此時(shí)，存在實(shí)數(shù)t=4，只要當(dāng)x∈[n，-1]時(shí)，就有f（x+t）≥2x成立．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的解析式的求解，方程組求解問題，分類討論求解，屬于中檔題．