Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-3|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥ax+

a

2

-

7

2

恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）去絕對值，分三段，寫出函數(shù)表達式，判斷各段的單調(diào)性，得到最小值．
（2）令g（x）=ax+

a

2

-

7

2

，畫出f（x）、g（x）的圖象，通過直線過點（-

1

2

，-

7

2

），旋轉(zhuǎn)觀察，即可得到a的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-3|=

-x-4，x＜- 1 2 3x-2，- 1 2 ≤x≤3 x+4，x＞3

，
故函數(shù)的減區(qū)間為（-∞，-

1

2

）、增區(qū)間為（-

1

2

，+∞），
故當(dāng)x=-

1

2

時，函數(shù)f（x）取得最小值為-

7

2

．
（2）由于函數(shù)g（x）=ax+

a

2

-

7

2

恒過定點（-

1

2

，-

7

2

），若f（x）≥ax+

a

2

-

7

2

恒成立，
則由圖象可知-1≤a≤1．

點評：本題考查絕對值函數(shù)的最值，注意寫成分段函數(shù)的形式，討論各段的單調(diào)性，從而求出最值，考查分段函數(shù)的圖象和運用，不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為圖象的位置關(guān)系，屬于中檔題．