Question

已知函數y=f（x），（x≠0）對于任意的x，y∈R且x，y≠0滿足f（xy）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求f（1），f（-1）的值；
（Ⅱ）判斷函數y=f（x），（x≠0）的奇偶性；
（Ⅲ）若函數y=f（x）在（0，+∞）上是增函數，解不等式f（

1

6

x）+f（x-5）≤0．

Answer 1

考點：函數單調性的性質,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）賦值法：在所給等式中，令x=y=1，可求得f（1），令x=y=-1可求得f（-1）；
（Ⅱ）在所給等式中令y=-1，可得f（-x）與f（x）的關系，利用奇偶性的定義即可判斷；
（3）由題意不等式f（

1

6

x）+f（x-5）≤0可化為f（|

1

6

x（x-5）|）≤f（1），根據單調性即可去掉符號“f”，轉化為具體不等式即可解得．

解答： 解：（Ⅰ）∵對于任意的x，y∈R且x，y≠0滿足f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，得到：f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
令x=y=-1，得到：f（1）=f（-1）+f（-1），
∴f（-1）=0；

證明：（Ⅱ）由題意可知，令y=-1，得f（-x）=f（x）+f（-1），
∵f（-1）=0，∴f（-x）=f（x），
∴y=f（x）為偶函數；
解：（Ⅲ）由（Ⅱ）函數f（x）是定義在非零實數集上的偶函數．
∴不等式f（

1

6

x）+f（x-5）≤0可化為f[

1

6

x（x-5）]≤f（1），f（|

1

6

x（x-5）|）≤f（1），
∴-1≤

1

6

x（x-5）≤1，即：-6≤x（x-5）≤6且x≠0，x-5≠0，
在坐標系內，如圖函數y=x（x-5）圖象與y=6，y=-6兩直線．
由圖可得x∈[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]，
故不等式的解集為：[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]．

點評：本題考查抽象函數的求值、奇偶性的判斷及抽象不等式的解法，定義是解決抽象函數問題的常用方法，解抽象不等式關鍵是利用函數性質轉化為具體不等式．