Question

    已知函數(shù).

    （I）求函數(shù)的最大值；

    （Ⅱ）設(shè)  ,證明:＜1.

Answer 1

解：

（Ⅰ）f¢(x)＝－xe^x．

當(dāng)x∈(－∞，0)時，f¢(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f¢(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減．

所以f(x)的最大值為f(0)＝0．                                                                     

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x＞0時，f(x)＜0，g(x)＜0＜1．                         

當(dāng)－1＜x＜0時，g(x)＜1等價于設(shè)f(x)＞x．

設(shè)h(x)＝f(x)－x，則h¢(x)＝－xe^x－1．

當(dāng)x∈(－1，－0)時，0＜－x＜1，0＜e^x＜1，則0＜－xe^x＜1，

從而當(dāng)x∈(－1，0)時，h¢(x)＜0，h(x)在(－1，0]單調(diào)遞減．

當(dāng)－1＜x＜0時，h(x)＞h(0)＝0，即g(x)＜1．

綜上，總有g(x)＜1．