Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x+2sinxcosx-sin²x+4
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最大值、最小值；
（Ⅲ）試說(shuō)明函數(shù)f（x）怎樣由函數(shù)g（x）=sinx變換得來(lái)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）運(yùn)用二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，再運(yùn)用周期公式即可；
（Ⅱ）由正弦函數(shù)的最值，令2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，解出x，即得f（x）的最小值；令2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，求出x，即得f（x）的最大值；
（Ⅲ）由三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，可先左右平移變換，再周期變換，再振幅變換，最后上下平移變換，即可得到答案．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cos²x+2sinxcosx-sin²x+4
=cos2x+sin2x+4=

2

（

2

2

cos2x+

2

2

sin2x）+4
=

2

sin（2x+

π

4

）+4．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）令2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

3π

8

，f（x）取最小值4-

2

；
令2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

8

，f（x）取最大值4+

2

；
故當(dāng){x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}時(shí)，f（x）最大值為

2

+4，
當(dāng){x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}時(shí)，f（x）最小值為-

2

+4；
（Ⅲ）f（x）的圖象是由y=sinx的圖象先向左平移

π

4

個(gè)單位，接著橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

1

2

倍（縱坐標(biāo)不變），
再縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

2

倍（橫坐標(biāo)不變），最后向上平移4個(gè)單位而得．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角公式和兩角和的正弦公式的運(yùn)用，以及三角函數(shù)的周期性和最值，同時(shí)考查三角函數(shù)的圖象變換，屬于中檔題．