Question

已知橢圓E的方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），它的兩個焦點(diǎn)為F1(-5

3

，0)，F2(5

3

，0)，P為橢圓的一點(diǎn)（點(diǎn)P在第三象限上），且△PF₁F₂的周長為20+10

3

，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求出橢圓的左頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，MP交圓P與另一點(diǎn)N的坐標(biāo)，若點(diǎn)A在橢圓E上，使得

AM

•

AN

=-32，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）直接利用已知條件列出方程組，求出橢圓的幾何量，即可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若以點(diǎn)P為圓心的圓過橢圓的左頂點(diǎn)M與點(diǎn)C（-2，0），MP交圓P與另一點(diǎn)N，設(shè)A（x，y），通過

AM

•

AN

=-32，求解求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）依題意得：|F1F2|=10

3

，又|PF1+PF2|=2a，…（1分）
則有2a+2c=20+10

3

…----…（2分）
∴a=10，b=5，…（4分）
橢圓E的方程：

x2

100

+

y2

25

=1…（5分）
（Ⅱ）由（ 1 ）得M（-10，0），C（-2，0）…（6分）
設(shè)點(diǎn)P（m，n），則有m=

-10+(-2)

2

=-6，
又：

m2

100

+

n2

25

=1，∴n=-4，即P（-6，-4），…（8分）
∵P為MN的中點(diǎn)，可得N（-2，-8）…（9分）
設(shè)A（x，y），∴

AM

=(-10-x，-y)，

AN

=(-2-x，-8-y)，
∴

AM

•

AN

=(-10-x)(-2-x)+(-y)(-8-y)=x2+12x+20+y2+8y…（10分）
∴

AM

•

AN

=(x+6)2+(y+4)2-32=-32，…（11分）
得x=-6，y=-4時，∴A（-6，-4）…---…（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．