Question

已知函數(shù)f(x)＝ax²－2x＋1.

(1)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．

(2)若≤a≤1，且f(x)在[1,3]上的最大值為M(a)，最小值為N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)，求g(a)的表達式．

(3)在(2)的條件下，求證：g(a)≥

Answer 1

解　(1)當(dāng)a＝0時，函數(shù)f(x)＝－2x＋1在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)；

當(dāng)a>0時，拋物線f(x)＝ax²－2x＋1開口向上，對稱軸為x＝，

所以函數(shù)f(x)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；

當(dāng)a<0時，拋物線f(x)＝ax²－2x＋1開口向下，對稱軸為x＝，

所以函數(shù)f(x)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．

(2)因為f(x)＝a²＋1－，

由≤a≤1得1≤≤3，

所以N(a)＝f＝1－.

當(dāng)1≤<2，即<a≤1時，M(a)＝f(3)＝9a－5，故g(a)＝9a＋－6；

當(dāng)2≤≤3，即≤a≤時，M(a)＝f(1)＝a－1，

故g(a)＝a＋－2.

所以

(3)證明：當(dāng)a∈時，g′(a)＝1－<0，

所以函數(shù)g(a)在上為減函數(shù)；

當(dāng)a∈時，g′(a)＝9－>0，

所以函數(shù)g(a)在上為增函數(shù)，

所以當(dāng)a＝時，g(a)取最小值，

g(a)_min＝g＝.

故g(a)≥.