Question

某工廠在政府的幫扶下，準備轉(zhuǎn)型生產(chǎn)一種特殊機器，生產(chǎn)需要投入固定成本500萬元，生產(chǎn)與銷售均以百臺計數(shù)，且每生產(chǎn)100臺，還需增加可變成本1 000萬元．若市場對該產(chǎn)品的年需求量為500臺，每生產(chǎn)m百臺的實際銷售收入(單位：萬元)近似滿足函數(shù)R(m)＝5 000m－500m²(0≤m≤5，m∈N)．

(1)試寫出第一年的銷售利潤y(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位：百臺，x≤5，x∈N^*)的函數(shù)關(guān)系式；(說明：銷售利潤＝實際銷售收入－成本)

(2)因技術(shù)等原因，第一年的年生產(chǎn)量不能超過300臺，若第一年人員的年支出費用u(x)(萬元)與年產(chǎn)量x(百臺)的關(guān)系滿足u(x)＝500x＋500(x≤3，x∈N^*)，問年產(chǎn)量x為多少百臺時，工廠所得純利潤最大？

Answer 1

解　(1)由題意得y＝5 000x－500x²－500－1 000x，

即y＝－500x²＋4 000x－500(x≤5，x∈N^*)．

(2)記工廠所得純利潤為h(x)，則

h(x)＝－500x²＋4 000x－500－u(x)

＝－500x²＋3 500x－1 000，

∵－500(x²－7x)－1 000＝－500²＋5 125(x≤3，x∈N^*)，

∴當x＝3(百臺)時，h(x)_max＝5 000(萬元)．

故當年生產(chǎn)量為3百臺時，廠家的純利潤最大，且最大值為5 000萬元．