Question

若二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和直線y=x無交點,現有下列結論:①方程f(f(x))=x一定沒有實數根;

②若a>0,則不等式f(f(x))>x對一切實數x都成立;

③若a<0,則必存在實數x0,使f(f(x0))>x0;

④若a+b+c=0,則不等式f(f(x))<x對一切實數都成立;

⑤函數g(x)=ax2-bx+c的圖象與直線y=-x也一定沒有交點.

其中正確的結論是　　　　(寫出所有正確結論的編號). 

Answer 1

①②④⑤解析:因為函數f(x)的圖象與直線y=x沒有交點,所以f(x)>x(a>0)或f(x)<x(a<0)恒成立.

①因為f(f(x))>f(x)>x或f(f(x))<f(x)<x恒成立,所以f(f(x))=x沒有實數根;

②若a>0,則不等式f(f(x))>f(x)>x對一切實數x都成立;

③若a<0,則不等式f(f(x))<x對一切實數x都成立,所以不存在x0,使f(f (x0))>x0;

④若a+b+c=0,則f(1)=0<1,可得a<0,因此不等式f(f(x))<x對一切實數x都成立;

⑤易見函數g(x)=f(-x),與f(x)的圖象關于y軸對稱,所以g(x)的圖象和直線y=-x也一定沒有交點.綜合知正確的結論為①②④⑤.