Question

已知[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)（x∈R），如：[-1.3]=-2，[0.8]=0，[3.4]=3．定義F（x）=x-[x]，給出如下命題：
①使[x+1]=3成立的x的取值范圍是2≤x＜3；
②函數(shù)F（x）的定義域為R，值域為[0，1]；
③F（

2013

2014

）+F（

20132

2014

）+F（

20133

2014

）+…+F（

20132014

2014

）=1007；
④設(shè)函數(shù)G（x）=

F(x)         x≥0 G(x+1)    x＜0

，則函數(shù)y=G（x）-|sinx|，x∈[-π，π]的不同零點有7個．
其中正確的命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：進(jìn)行簡單的合情推理

專題：推理和證明

分析：①由題意知[x+1]=3時，有

x+1≥3 x+1＜4

解得即可；
②由題意[x]≤x＜[x]+1，得x-[x]的取值范圍，即{x}的值域；
③對于F（

2013

2014

）=

2013

2014

，F(xiàn)（

20132

2014

）=

1

2014

，…F（

20132014

2014

）=

1

2014

，計算即可
④由題意0≤f（x）＜1，討論0≤x＜1，x≥1和x＜0時，y=G（x）-|sinx|，x∈[-π，π]的零點情況．

解答： 解：對于①∵[x+1]=3，有

x+1≥3 x+1＜4

，解得2≤x＜3，故①正確
對于②∵[x]≤x＜[x]+1，∴0≤x-[x]＜1，函數(shù){x}的值域是[0，1），故②錯誤；
對于③F（

2013

2014

）=

2013

2014

，F(xiàn)（

20132

2014

）=F(

(2014-1)2

2014

)=F(2014-2+

1

2014

)=

1

2014

，F(xiàn)（

20133

2014

）=F（2020142-3×2014+3-

1

2014

）=F（-

1

2014

）=

2013

2014

+，…，F(xiàn)（

20132014

2014

）=

1

2014

所以F（

2013

2014

）+F（

20132

2014

）+F（

20133

2014

）+…+F（

20132014

2014

）=

2013

2014

+

1

2014

+

2013

1014

+…+

1

2014

=1007；，故③正確
對于④當(dāng)0≤x＜1時，G（x）=x+[x]=x+0=x，當(dāng)1≤x＜2，則G（x）=x-1，
當(dāng)2≤x＜3，則G（x）=x-2，
當(dāng)3≤x＜4，則G（x）=x-3
…
當(dāng)-1≤x＜0，則0≤x+1＜1，則G（x）=G（x+1）=x+1，
當(dāng)-2≤x＜-1，則-1≤x+1＜0，則G（x）=G（x+1）=x+2，
當(dāng)-3≤x＜-2，則-2≤x+1＜-1，則G（x）=G（x+1）=x+3，…
令y=0，則G（x）=|sinx|，在同一個坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=G（x）和
y=|sinx|的圖象，顯然有7個交點，故④正確．

故其中正確的命題的序號為①③④．
故答案為：①③④

點評：本題是新定義題，考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考查函數(shù)的定義域、值域以及函數(shù)的周期性，運(yùn)用圖象相交的交點個數(shù)來確定函數(shù)的零點個數(shù)，對定義的準(zhǔn)確理解是迅速解題的關(guān)鍵．