Question

11．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CA}=8$，$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CF}=-2$則$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CE}$的值是$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的加減的幾何意義和向量的數(shù)量積即可求出．

解答 解：D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，
∴$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{CF}$=-$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BD}$+3$\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{CA}$=-$\overrightarrow{BD}$+3$\overrightarrow{DF}$，
∴$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CF}$=${\overrightarrow{DF}}^{2}$-${\overrightarrow{BD}}^{2}$=-2，
$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CA}$=9${\overrightarrow{DF}}^{2}$-${\overrightarrow{BD}}^{2}$=8，
∴${\overrightarrow{DF}}^{2}$=$\frac{5}{4}$，${\overrightarrow{BD}}^{2}$=$\frac{13}{4}$，
∵$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{CE}$=-$\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{DF}$，
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CE}$=4${\overrightarrow{DF}}^{2}$-${\overrightarrow{BD}}^{2}$=4×$\frac{5}{4}$-$\frac{13}{4}$=$\frac{7}{4}$
故答案為：$\frac{7}{4}$

點評 本題考查的知識是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，平面向量的線性運(yùn)算，難度中檔．