Question

如圖，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，短軸右端點為A，M(1,0)為線段OA的中點．

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點M任作一條直線與橢圓C相交于兩點P、Q，試問在x軸上是否存在定點N，使得∠PNM＝∠QNM？若存在，求出點N的坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

 (1)由題意知b＝2，又e＝，即＝，

解得a＝2，所以橢圓方程為＋＝1.

(2)假設存在點N(x_0,0)滿足題設條件．

當PQ⊥x軸時，由橢圓的對稱性可知恒有∠PNM＝∠QNM，即x₀∈R；

當PQ與x軸不垂直時，設PQ的方程為y＝k(x－1)，代入橢圓方程中化簡得：(k²＋2)x²－2k²x＋k²－8＝0.

設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

∵(x₁－1)(x₂－x₀)＋(x₂－1)(x₁－x₀)

＝2x₁x₂－(1＋x₀)(x₁＋x₂)＋2x₀

＝＋2x₀.

若∠PNM＝∠QNM，則k_PN＋k_QN＝0，

即，整理得k(x₀－4)＝0，∵k∈R，∴x₀＝4.

綜上，在x軸上存在定點N(4,0)，使得∠PNM＝∠QNM.