如圖,已知橢圓C:+
=1(a>b>0)的離心率e=
,短軸右端點為A,M(1,0)為線段OA的中點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點M任作一條直線與橢圓C相交于兩點P、Q,試問在x軸上是否存在定點N,使得∠PNM=∠QNM?若存在,求出點N的坐標;若不存在,說明理由.
(1)由題意知b=2,又e=,即
=
,
解得a=2,所以橢圓方程為
+
=1.
(2)假設存在點N(x0,0)滿足題設條件.
當PQ⊥x軸時,由橢圓的對稱性可知恒有∠PNM=∠QNM,即x0∈R;
當PQ與x軸不垂直時,設PQ的方程為y=k(x-1),代入橢圓方程中化簡得:(k2+2)x2-2k2x+k2-8=0.
設P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=
,
∵(x1-1)(x2-x0)+(x2-1)(x1-x0)
=2x1x2-(1+x0)(x1+x2)+2x0
=+2x0.
若∠PNM=∠QNM,則kPN+kQN=0,
即,整理得k(x0-4)=0,∵k∈R,∴x0=4.
綜上,在x軸上存在定點N(4,0),使得∠PNM=∠QNM.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
已知F是橢圓+
=1(a>0,b>0)的左焦點,若橢圓上存在點P,使得直線PF與圓x2+y2=b2相切,當直線PF的傾斜角為
時,此橢圓的離心率是________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
已知拋物線y2=4x,過點M(0,2)的直線l與拋物線交于A、B兩點,且直線l與x軸交于點C.
(1)求證:|MA|,|MC|,|MB|成等比數(shù)列;
(2)設,試問α+β是否為定值,若是,求出此定值,若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
過已知雙曲線-
=1(b>0)的左焦點F1作⊙O2:x2+y2=4的兩條切線,記切點為A,B,雙曲線的左頂點為C,若∠ACB=120°,則雙曲線的離心率為( )
A. B.
C. D.2
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