Question

2013年國慶期間，高速公路車輛較多．某調查公司在一服務區(qū)從七座以下小型汽車中按進服務區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，將他們在某段高速公路的車速（km/h）分成六段[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），[100，105），[105，110）后得到如下圖的頻率分布直方圖．
（1）此調查公司在采樣中，用到的是什么抽樣方法？
（2）求這40輛小型車輛車速的中位數的估計值；
（3）若從車速在[80，90）的車輛中任抽取3輛，求抽出的3輛車中車速在[85，90）的車輛數ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,收集數據的方法,眾數、中位數、平均數

專題：

分析：（1）這個抽樣是按進服務區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，是一個具有相同間隔的抽樣，并且總體的個數比較多，這是一個系統抽樣；
（2）選出直方圖中最高的矩形求出其底邊的中點即為眾數；求出從左邊開始小矩形的面積和為0.5對應的橫軸的左邊即為中位數；利用各個小矩形的面積乘以對應矩形的底邊的中點的和為數據的平均數．
（3）從車速在[80，90）的車輛中任抽取3輛，根據題意抽出的3輛車中速車在[85，90）的車輛數ξ可能為1、2、3，求出相應的概率，即可求得分布列和期望．

解答： 解：（1）由題意知這個抽樣是按進服務區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，是一個具有相同間隔的抽樣，并且總體的個數比較多，這是一個系統抽樣．
故調查公司在采樣中，用到的是系統抽樣；                         …（2分）
（2）設圖中虛線所對應的車速為x，則中位數的估計值為0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x-95）=0.5
，解得x=97.5
即中位數的估計值為97.5…（4分）                
（3）從圖中可知，車速在[80，85）的車輛數為0.01×5×40=2（輛），
車速在[85，90）的車輛數為0.02×5×40=4（輛）
∴ξ可取：1，2，3      …（6分）
P(ξ=1)=

C 2 2 C 1 4

C 3 6

=

1

5

，P(ξ=2)=

C 1 2 C 2 4

C 3 6

=

3

5

，P(ξ=3)=

C 0 2 C 3 4

C 3 6

=

1

5

，…（8分）
ξ的分布列為

ξ	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

…（10分）
均值E(ξ)=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2．…（12分）

點評：解決頻率分布直方圖的有關特征數問題，利用眾數是最高矩形的底邊中點；中位數是左右兩邊的矩形的面積相等的底邊的值；平均數等于各個小矩形的面積乘以對應的矩形的底邊中點的和