Question

已知等差數(shù)列{a_n}，公差d＞0，a₁+a₂+a₃=6，且a₃-a₁，2a₂，a₈成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

an

2n

，求證：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由b_n=

an

2n

=

n

2n

，利用錯(cuò)位相減法能證明b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2．

解答： （Ⅰ）解：∵等差數(shù)列{a_n}，公差d＞0，a₁+a₂+a₃=6，且a₃-a₁，2a₂，a₈成等比數(shù)列，
∴

3a2=6 (2a2)2=2d(a2+6d) d＞0

．
解得a₁=1，d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（Ⅱ）證明：∵b_n=

an

2n

=

n

2n

，
∴令S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，②
①-②，得：

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴S_n=2-

n+2

2n

＜2．故b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．