Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx，g（x）=

2e

x

，（a是實數(shù)，e是自然對數(shù)的底）．
（Ⅰ）若直線l與函數(shù)f（x）的圖象相切于點（1，0），并且l與函數(shù)g（x）的圖也相切，求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在它的定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，求出f′（1），寫出直線l的方程，聯(lián)立l和y=g（x）消去y，得到x的方程，討論a=1，a≠1
由相切的條件：判別式為0，求出a；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，討論函數(shù)f（x）在它的定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，還是減函數(shù)，運用分離參數(shù)，基本不等式求最值，從而求出a的范圍．

解答： 解：（I）由f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

，
則f′（1）=2（a-1），
直線l的方程為：y=2（a-1）（x-1），
由

y=2(a-1)(x-1) y= 2e x

，得(a-1)(x-1)=

e

x

，
即（a-1）x²-（a-1）x-e=0，
i）當a=1時，方程無解；
ii）當a≠1時，由△=（a-1）²-4（a-1）（-e）=0，得a=1-4e，
綜上可得，a=1-4e．
（II）f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，
i）若函數(shù)f（x）在它的定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，
由f′（x）≥0，對?x∈（0，+∞），即a≥

2x

1+x2

，
而函數(shù)y=

2x

1+x2

=

2

x+ 1 x

在x∈（0，+∞）的值域為（0，1]，
所以，a≥1．
ii）若函數(shù)f（x）在它的定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，
由f′（x）≤0，對?x∈（0，+∞），即a≤

2x

1+x2

，
而函數(shù)y=

2x

1+x2

在x∈（0，+∞）的值域為（0，1]，
所以a≤0．
綜上可得，若函數(shù)f（x）在它的定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，
a的取值范圍是[1，+∞）∪（-∞，0]．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線、求單調(diào)性，同時考查參數(shù)分離、基本不等式的運用求最值，是一道中檔題．