已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為4,且過點P(,).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)Q(x0,y0)(x0y0≠0)為橢圓C上一點.過點Q作x軸的垂線,垂足為E.取點A(0,2),連接AE,過點A作AE的垂線交x軸于點D.點G是點D關(guān)于y軸的對稱點,作直線QG,問這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點?并說明理由.

(1) +=1   (2) 直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點，理由見解析

解析解:(1)因為焦距為4,
所以a2-b2=4.
又因為橢圓C過點P(,),
所以+=1,
故a2=8,b2=4,
從而橢圓C的方程為+=1.
(2)一定有唯一的公共點.
由題意,E點坐標為(x0,0).
設(shè)D(xD,0),則=(x0,-2),=(xD,-2).
再由AD⊥AE知, ·=0,
即xDx0+8=0.
由于x0y0≠0,故xD=-.
因為點G是點D關(guān)于y軸的對稱點,所以點G（,0）.
故直線QG的斜率kQG==.
又因Q(x0,y0)在橢圓C上,
所以+2=8.①
從而kQG=-.
故直線QG的方程為
y=-（x-）.②
將②代入橢圓C方程,得
(+2)x2-16x0x+64-16=0.③
再將①代入③,化簡得
x2-2x0x+=0.
解得x=x0,y=y0,
即直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點.

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