Question

【題目】已知拋物線,拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.

(Ⅰ)求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程;

(Ⅱ)過(guò)的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn),交直線于點(diǎn),直線交直線于點(diǎn). 是否存在這樣的直線,使得? 若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;若存在,求出直線的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ，. (Ⅱ)存在，或.

【解析】

（I）根據(jù)拋物線的定義求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及準(zhǔn)線飛航程.

（II）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，消去后根據(jù)判別式大于零求得的取值范圍，寫(xiě)出韋達(dá)定理.結(jié)合得到直線與直線的斜率相等（或者轉(zhuǎn)化為），由此列方程，解方程求得的值，也即求得直線的方程.

(Ⅰ)因?yàn)闄M坐標(biāo)為的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為,所以,解得,

所以

所以準(zhǔn)線方程為.

(Ⅱ)顯然直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,.

聯(lián)立得 消去得.

由,解得. 所以且.

由韋達(dá)定理得,.

方法一:

直線的方程為,

又,所以,所以,

因?yàn)?/span>,所以直線與直線的斜率相等

又,所以.

整理得,即,

化簡(jiǎn)得,,即.

所以,整理得,

解得. 經(jīng)檢驗(yàn),符合題意.

所以存在這樣的直線,直線的方程為或

方法二:

因?yàn)?/span>,所以,所以.

整理得,即,

整理得.

解得,經(jīng)檢驗(yàn),符合題意.

所以存在這樣的直線,直線的方程為或.