【題目】已知拋物線,拋物線上橫坐標(biāo)為的點到焦點的距離為.

(Ⅰ)求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程;

(Ⅱ)過的直線交拋物線于不同的兩點,交直線于點,直線交直線于點. 是否存在這樣的直線,使得? 若不存在,請說明理由;若存在,求出直線的方程.

【答案】(Ⅰ) ,. (Ⅱ)存在,.

【解析】

I)根據(jù)拋物線的定義求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及準(zhǔn)線飛航程.

II)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程,消去后根據(jù)判別式大于零求得的取值范圍,寫出韋達(dá)定理.結(jié)合得到直線與直線的斜率相等(或者轉(zhuǎn)化為),由此列方程,解方程求得的值,也即求得直線的方程.

(Ⅰ)因為橫坐標(biāo)為的點到焦點的距離為,所以,解得,

所以

所以準(zhǔn)線方程為.

(Ⅱ)顯然直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,.

聯(lián)立得 消去.

,解得. 所以.

由韋達(dá)定理得,.

方法一:

直線的方程為,

,所以,所以,

因為,所以直線與直線的斜率相等

,所以.

整理得,即,

化簡得,,即.

所以,整理得,

解得. 經(jīng)檢驗,符合題意.

所以存在這樣的直線,直線的方程為

方法二:

因為,所以,所以.

整理得,即,

整理得.

解得,經(jīng)檢驗,符合題意.

所以存在這樣的直線,直線的方程為.

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