Question

在△ABC中，AB=3，D是△ABC所在平面內(nèi)一動點且滿足（

BD

+

CD

）⊥（

BD

-

CD

），（

CD

-

CA

）•

CB

=4，則|

AC

|=

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用

分析：運用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，以及向量的中點表示，向量的三角形法則和向量的平方即為模的平方，計算即可得到所求值．

解答： 解：由（

BD

+

CD

）⊥（

BD

-

CD

），
則（

BD

+

CD

）•（

BD

-

CD

）=0，
即有

BD

2-

CD

2=0，即|

BD

|=|

CD

|．
取BC的中點M，連接AM，DM，
則有

DM

•

BC

=0，

AM

=

1

2

（

AB

+

AC

），
由（

CD

-

CA

）•

CB

=4，得

AD

•

CB

=4，
即（

AM

+

MD

）•

CB

=4
即

AM

•

CB

+

MD

•

CB

=4，
即有

1

2

（

AB

+

AC

）•（

AB

-

AC

）=4，
則

AB

2-

AC

2=8，

AC

2=9-8=1，
即有|

AC

|=1．
故答案為：1．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)，考查中點的向量表示及向量垂直的條件，考查向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于中檔題．