Question

設函數f（x）=

x2+2x+sinx+1

x2+1

的最大值為M，最小值為m，則M+m=

 

．

Answer 1

考點：函數與方程的綜合運用,函數最值的應用

專題：函數的性質及應用

分析：可先將原函數變形為f（x）=1+

2x+sinx

x2+1

，仔細分析可以看出，t=

2x+sinx

x2+1

是一個奇函數，則該函數的最大（�。┲导�1就是原函數的最大（�。┲�，而奇函數的最大值與最小值互為相反數，所以該題即可獲解．

解答： 解：函數f（x）=

x2+2x+sinx+1

x2+1

=1+

2x+sinx

x2+1

，
令t（x）=

2x+sinx

x2+1

，∵t（-x）=

-2x+sin(-x)

(-x)2+1

=-

2x+sinx

x2+1

=-f（x）
∴t（x）是奇函數，設其最大值為M，則由奇函數的圖象可知，其最小值為-M，
∴f（x）_min=1-M，f（x）_max=1+M，
∴f（x）_min+f（x）_max=2．
故答案為2

點評：此題沒有按常規(guī)考查函數的最值的求法，即利用單調性，而是在將原函數變形的基礎上，通過觀察分析將原函數的最值轉化為一個奇函數的最大值、最小值的問題，由奇函數的圖象可得，其最大值、最小值互為相反數，所以原函數的最值之和為2．此題有一定難度．