Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， 且Sn= + ．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=an+2﹣an+ ，且數(shù)列{bn}的前n項和為Tn ， 求證：Tn＜2n+ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n≥2時，

an=Sn﹣Sn﹣1

= + ﹣ ﹣

=n+1，

又n=1時，

a1=S1=2適合an=n+1，

∴an=n+1

（2）證明：由（1）知：

bn=n+3﹣（n+1）+

=2+ ×（ ﹣ ），

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn

=2n+ ×（ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）

=2n+ ×（ + ﹣ ﹣ ）

＜2n+ ：

【解析】（1）根據(jù)數(shù)列的通項an和Sn的關(guān)系，即可求解數(shù)列{an}的通項公式；（2）由bn=2+ （ ﹣ ），即可利用裂項相消求解數(shù)列的和，得以證明．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項和(數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系)，還要掌握數(shù)列的通項公式(如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．