Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；

（Ⅲ）若對(duì)于任意的都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， 取得極小值為，無(wú)極大值．；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)， 在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)， 在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)， 在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（Ⅲ） ．

【解析】試題分析：

(Ⅰ) 當(dāng)時(shí)， ，定義域?yàn)?/span>， ．據(jù)此可得當(dāng)時(shí)， 取得極小值為，無(wú)極大值．

(Ⅱ) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且．分類討論有：

（1）當(dāng)時(shí)， 在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)， 在上是減函數(shù)；

（3）當(dāng)時(shí)， 在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)

(Ⅲ) 由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)， 在上是減函數(shù)．原問題等價(jià)于對(duì)任意恒成立，分離參數(shù)有對(duì)任意恒成立．據(jù)此可得實(shí)數(shù)的取值范圍為．

試題解析：

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ，定義域?yàn)?/span>，

的導(dǎo)函數(shù)．

當(dāng)時(shí)， ， 在上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)， ， 在上是增函數(shù)．

∴當(dāng)時(shí)， 取得極小值為，無(wú)極大值．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)， 的定義域?yàn)?/span>， 的導(dǎo)函數(shù)為．

由得， ， ．

（1）當(dāng)時(shí)， 在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)， 在上是減函數(shù)；

（3）當(dāng)時(shí)， 在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)， 在上是減函數(shù)．

∴．

∵對(duì)于任意的都有，

∴對(duì)任意恒成立，

∴對(duì)任意恒成立．

當(dāng)時(shí)， ，∴．

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．