已知f(x)=tanx+log2
1+x
1-x
+1.
(Ⅰ)求f(
1
2
)+f(-
1
2
)的值;
(Ⅱ)若f(sinθ)>f(cosθ),θ為銳角,求θ的取值范圍.
考點:函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的值
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)容易求得f(-x)+f(x)=2,所以f(
1
2
)+f(-
1
2
)=2
;
(Ⅱ)求f′(x),能夠判斷f′(x)>0,所以得出f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增,因為θ為銳角,所以由f(sinθ)>f(cosθ)得到
sinθ>cosθ
0<θ<
π
2
,解該不等式即得θ的取值范圍.
解答: 解:(Ⅰ)f(-x)+f(x)=tan(-x)+tanx+log2
1-x
1+x
+log2
1+x
1-x
+2
=2;
∴f(
1
2
+f(-
1
2
)
=2;
(Ⅱ)解
1+x
1-x
>0
得,-1<x<1;
f′(x)=
1
cos2x
+
2
(1-x)(1+x)ln2
>0
;
∴f(x)在(-1,1)上是增函數(shù);
∴由f(sinθ)>f(cosθ),θ為銳角得:
sinθ>cosθ
0<θ<
π
2
;
π
4
<θ<
π
2

∴θ的取值范圍為(
π
4
,
π
2
).
點評:考查tan(-x)=-tanx,對數(shù)的運算法則,以及(tanx)′,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法,正弦線和余弦線的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
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