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12.已知函數(shù)f(x)=12x2+(a-3)x+lnx.
(1)若函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)增函數(shù),求a的最小值;
(2)若方程f(x)-(12+a)x2-(a-4)x=0在區(qū)間[1e,e]上有兩個不同的實根,求a的取值范圍.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分離參數(shù)a,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的最小值即可;(2)分離a,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.

解答 解:(1)f′(x)=x+a-3+1x,(x>0),
若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上遞增,
則f'(x)≥0對x>0恒成立,即ax+1x+3對x>0恒成立,
而當(dāng)x>0時,x+1x+32+3=1,
∴a≥1.
若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上遞減,
則f'(x)≤0對x>0恒成立,即ax+1x+3對x>0恒成立,
這是不可能的.
綜上,a≥1.a(chǎn)的最小值為1.
(2)由fx=12ax2+a2x+2lnx=0,
a12x2+2ax=2lnx,
a=lnx+xx2,令rx=lnx+xx2,rx=1x+1x22xlnx+xx3=1x2lnxx3,
得1-x-2lnx=0的根為1,
所以當(dāng)0<x<1時,r'(x)>0,則r(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x>1時,r'(x)<0,則r(x)單調(diào)遞減,
所以r(x)在x=1處取到最大值r(1)=1.
又x→0時r(x)→0,又x→+∞時r(x)→0,
所以要使y=lnx+xx2與y=a有兩個不同的交點,則有0<a<1.

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的由于以及函數(shù)恒成立問題,是一道中檔題.

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