Question

已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，離心率，為橢圓上任一點(diǎn)，且的最大面積為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)，若實(shí)數(shù)滿足條件，求的最大值.

Answer 1

【解】（Ⅰ）依題意得：，解得：

于是：橢圓的方程

（Ⅱ）設(shè)直線的方程由得：

設(shè)，則

由于以為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)，于是，即

又

于是：，即

依題意有：，即

化簡(jiǎn)得：

因此，要求的最大值，只需求的最大值，下面開始求的最大值：

點(diǎn)到直線的距離，于是：

又因?yàn)?sub>，所以，

代入得

令

于是：

當(dāng)即，即時(shí)，取最大值，且最大值為

于是：的最大值為