Question

5．已知拋物線C：y²=4x焦點(diǎn)為F，直線MN過(guò)焦點(diǎn)F且與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，P為拋物線C準(zhǔn)線l上一點(diǎn)且PF⊥MN，連接PM交y軸于Q點(diǎn)，過(guò)Q作QD⊥MF于點(diǎn)D，若|MD|=2|FN|，則|MF|=$\sqrt{3}$+2．

Answer 1

分析 直線MN的方程為y=k（x-1），代入拋物線方程可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，求出k的值可得M的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線MN的方程為y=k（x-1），代入拋物線方程可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
∴x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
2|FN|=|MD|，可得2（x₂+1）=|MD|，
∵$\frac{MD}{MF}=\frac{MQ}{MP}$，∴$\frac{2（{x}_{2}+1）}{{x}_{1}+1}$=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}+1}$，∴x₂=$\frac{1}{2}{x}_{1}$-1，
聯(lián)立可得x₁=2+$\frac{8}{3{k}^{2}}$，
∵x₁=$\frac{{k}^{2}+2+2\sqrt{1+{k}^{2}}}{{k}^{2}}$，
∴2+$\frac{8}{3{k}^{2}}$=$\frac{{k}^{2}+2+2\sqrt{1+{k}^{2}}}{{k}^{2}}$，
∴3k²=4$\sqrt{3}$+4，
∴x₁=$\sqrt{3}$+1，
∴|MF|=$\sqrt{3}$+2，
故答案為$\sqrt{3}$+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．