Question

【題目】已知過點(diǎn)的橢圓的左右焦點(diǎn)分別為， 為橢圓上的任意一點(diǎn)，且成等差數(shù)列.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線交橢圓于兩點(diǎn)，若點(diǎn)始終在以為直徑的圓外，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】試題分析：（1）由題意，利用等差數(shù)列和橢圓的定義求出的關(guān)系，再根據(jù)橢圓過點(diǎn)，求出的值，即可寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，根據(jù)題意知，聯(lián)立方程組，由方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，再由點(diǎn)在以為直徑的圓外，得為銳角， ，由此列出不等式求出的取值范圍.

試題解析：

（1）∵成等差數(shù)列，∴ ，

由橢圓定義得，∴；又橢圓過點(diǎn)，

∴；∴，解得， ；

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)， ，聯(lián)立方程，消去得：

；

依題意直線恒過點(diǎn)，此點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，∴， ，①

由方程的根與系數(shù)關(guān)系可得， ；②

可得 ；③

由①②③，解得， ；

由點(diǎn)在以為直徑的圓外，得為銳角，即；

由， ，

∴；即，

整理得， ，解得： 或.

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是或.