Question

四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB＝AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分別為AD、PC的中點．

(1)求證：EF∥平面PAB；

(2)求證：EF⊥平面PBD；

(3)求二面角D－PA－B的余弦值．

Answer 1

　(1)證明：△ABD中，AD＝2AB，∠BAD＝60°，

由余弦定理得，

BD²＝AB²＋AD²－2AB×AD×cos60°＝AD²－AB²，

∴BD⊥AB，

∵平面PAB⊥平面ABCD，BD⊥AB，∴DB⊥平面PAB，

以B為原點，直線BA、BD分別為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，令AB＝2，則A(2,0,0)，D(0,2，0)，P(1,0，)，C(－2,2，0)，

∴＝(－3,0，)＝(－，0,1)，

又平面PAB的法向量n₂＝(0,1,0)，

∴·n₂＝0，∵EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB.

(2)證明：＝(0,2，0)，＝(1,0，)，

∵·＝0，·＝0，∴EF⊥BD，EF⊥BP，∴EF⊥平面PBD.

(3)解：設(shè)平面PAD的法向量為n₁＝(x₁，y₁，z₁)，＝(－1,0，)，＝(－2,2，0)，

則

令x＝，所以n₁＝(，1,1)，

平面PAB的法向量n₂＝(0,1,0)，

∴cos〈n₁，n₂〉＝，

∴二面角D－PA－B的余弦值為.