Question

已知函數(shù)f（x）=aln（x+1），g（x）=x-

1

2

x²，a∈R．
（Ⅰ）若a=-1，求曲線y=f（x）在x=3處的切線方程；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x）恒成立，求a的最小值；
（Ⅲ）設(shè)p（x）=f（x-1），a＞0，若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為曲線y=p（x）的兩個(gè)不同點(diǎn)，滿足0＜x₁＜x₂，且?x₃∈（x₁，x₂），使得曲線y=f（x）在x₃處的切線與直線AB平行，求證：x₃＜

x1+x2

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-ln（x+1），得出切點(diǎn)（3，-ln4）．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出切線的斜率，進(jìn)而得到切線方程；
（II）對(duì)任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x）恒成立?aln（x+1）-x+

1

2

x2≥0．
令h（x）=aln（x+1）-x+

1

2

x2（x≥0）．利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得h′（x）=

x2+a-1

x+1

(x≥0)．
分類討論：當(dāng)a≥1時(shí)，當(dāng)a＜1時(shí)，只要驗(yàn)證最小值是否大于0即可得出．
（III）p（x）=f（x-1）=alnx，k_AB=

alnx2-alnx1

x2-x1

．利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得p′(x)=

a

x

．由于曲線
y=f（x）在x₃處的切線與直線AB平行，可得

alnx2-alnx1

x2-x1

=

a

x3

．利用p′（x）在定義域內(nèi)單調(diào)性質(zhì)要證：x₃＜

x1+x2

2

．即證明p′(x3)＞p′(

x1+x2

2

)．即證明

alnx2-alnx1

x2-x1

＞

2a

x1+x2

．變形可得ln

x2

x1

＞

2(x2-x1)

x2+x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

，
令

x2

x1

=t，則t＞1．要證明的不等式等價(jià)于lnt＞

2(t-1)

t+1

?（t+1）lnt＞2（t-1）．構(gòu)造函數(shù)q（t）=（t+1）lnt-2（t-1），（t＞1）．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可證明．

解答： 解：（I）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-ln（x+1），得出切點(diǎn)（3，-ln4）．
∵f′(x)=-

1

x+1

，∴切線的斜率k=f′(3)=-

1

4

．
∴曲線y=f（x）在x=3處的切線方程為：y+ln4=-

1

4

（x-3），化為x+4y+8ln2-3=0．
（II）對(duì)任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x）恒成立?aln（x+1）-x+

1

2

x2≥0．
令h（x）=aln（x+1）-x+

1

2

x2（x≥0）．
h′(x)=

a

x+1

-1+x=

x2+a-1

x+1

(x≥0)．
①當(dāng)a≥1時(shí)，h′（x）≥0恒成立，
∴函數(shù)h（x）在x∈[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴h（x）≥h（0）=0，∴a≥1時(shí)符合條件．
②當(dāng)a＜1時(shí)，由h′（x）=0，及x≥0，解得x=

1-a

．
當(dāng)x∈(0，

1-a

)時(shí)，h′（x）＜0；當(dāng)x∈(

1-a

，+∞)時(shí)，h′（x）＞0．
∴hmin(x)=h(

1-a

)=h(

1-a

)＜h(1)=0，這與h（x）≥0相矛盾，應(yīng)舍去．
綜上可知：a≥1．∴a的最小值為1．
（III）p（x）=f（x-1）=alnx，k_AB=

alnx2-alnx1

x2-x1

．
∵p′(x)=

a

x

，∴p′(x3)=

a

x3

．
∵曲線y=f（x）在x₃處的切線與直線AB平行，
∴

alnx2-alnx1

x2-x1

=

a

x3

．
由p′(x)=

a

x

，a＞0，可知其在定義域內(nèi)單調(diào)遞減．
要證：x₃＜

x1+x2

2

．即證明p′(x3)＞p′(

x1+x2

2

)．即證明

alnx2-alnx1

x2-x1

＞

2a

x1+x2

．
變形可得ln

x2

x1

＞

2(x2-x1)

x2+x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

，
令

x2

x1

=t，則t＞1．要證明的不等式等價(jià)于lnt＞

2(t-1)

t+1

?（t+1）lnt＞2（t-1）．
構(gòu)造函數(shù)q（t）=（t+1）lnt-2（t-1），（t＞1）．
q′(x)=lnt+

t+1

t

-2=lnt+

1

t

-1（t＞1）．
令u（t）lnt+

1

t

-1，（t＞1）．
則u′（t）=

1

t

-

1

t2

=

t-1

t2

＞0，∴q′（t）在t＞1時(shí)單調(diào)遞增．
∴q′（t）＞q′（1）=0，∴函數(shù)q（t）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴q（t）＞q（1）=0，
∴q（t）＞0在（1，+∞）上恒成立．
∴（t+1）lnt＞2（t-1）在（1，+∞）上恒成立，即x₃＜

x1+x2

2

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、構(gòu)造函數(shù)法、換元法、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．