Question

設(shè)p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，q：實數(shù)x滿足|x-3|＜1．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若其中a＞0且￢p是￢q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：（1）若a=1，根據(jù)p∧q為真，則p，q同時為真，即可求實數(shù)x的取值范圍；
（2）根據(jù)￢p是￢q的充分不必要條件，建立條件關(guān)系即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）由x²-4ax+3a²＜0得（x-3a）（x-a）＜0
當(dāng)a=1時，1＜x＜3，即p為真時實數(shù)x的取值范圍是1＜x＜3．
由|x-3|＜1，得-1＜x-3＜1，得2＜x＜4
即q為真時實數(shù)x的取值范圍是2＜x＜4，
若p∧q為真，則p真且q真，
∴實數(shù)x的取值范圍是2＜x＜3．
（2）由x²-4ax+3a²＜0得（x-3a）（x-a）＜0，
若￢p是￢q的充分不必要條件，
則￢p⇒￢q，且￢q?￢p，
設(shè)A={x|￢p}，B={x|￢q}，則A?B，
又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥3a}，
B={x|￢q}={x|x≥4或x≤2}，
則0＜a≤2，且3a≥4
∴實數(shù)a的取值范圍是

4

3

≤a≤2．

點(diǎn)評：本題主要考查復(fù)合命題的真假關(guān)系以及充分條件和必要條件的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理能力．