Question

已知等差數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，a₁=1，且a₂，a₃+4，2a₇+1構(gòu)成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的公差d
（2）令b_n=

1

an + an+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a₂，a₃+4，2a₇+1構(gòu)成等差數(shù)列，得(a3+4)2=a2(2a7+1)，即（5+2d）²=（1+d）（3+12d），解出可得；
（2）由（1）易求a_n，進(jìn)而可表示出b_n，分母有理化后利用裂項(xiàng)相消法可求得S_n．

解答： 解：（1）∵a₂，a₃+4，2a₇+1構(gòu)成等差數(shù)列，
∴(a3+4)2=a2(2a7+1)，
即（5+2d）²=（1+d）（3+12d），
解得d=2，或d=-

11

8

，
又{a_n}單調(diào)遞增，
∴d=2；
（2）由（1）可得a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴b_n=

1

an + an+1

=

1

2n-1 + 2n+1

=

1

2

(

2n+1

-

2n-1

)，
∴S_n=

1

2

（

3

-1）+

1

2

(

5

-

3

)+

1

2

(

7

-

5

)+…+

1

2

(

2n+1

-

2n-1

)
=

1

2

（

3

-1+

5

-

3

+

7

-

5

+…

2n+1

-

2n-1

）
=

1

2

（

2n+1

-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)及數(shù)列求和等知識(shí)，考查裂項(xiàng)相消法對(duì)數(shù)列求和，裂項(xiàng)相消法是數(shù)列求和的常用方法，要熟練掌握．