Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

+

1

2

cos（2x+

π

6

），g（x）=1+

1

2

sin2x．
（1）設(shè)x₀是y=f（x）圖象最高點的橫坐標，求g（2x₀）的值；
（2）令h（x）=f（x-

5π

12

）+g（x-

π

12

），若方程h（x）+k=0在[0，

π

2

]只有一個解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù),函數(shù)的零點,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由題意可得2x₀+

π

6

=kπ，k∈z，求得2x₀的值，可得 g（2x₀）的值．
（2）由題意利用兩角和差正弦、余弦公式求得函數(shù)h（x）=

3

2

+sin（2x-

π

6

），且函數(shù)h（x）的圖象和直線y=-k在[0，

π

2

]上只有一個交點．根據(jù)2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，h（x）∈[1，

5

2

]，再結(jié)合h（x）在[0，

π

2

]上的圖象，可得k的值．

解答： 解：（1）設(shè)x₀是y=f（x）圖象最高點的橫坐標，
則有2x₀+

π

6

=kπ，k∈z，求得2x₀=kπ-

π

6

，
∴g（2x₀）=1+

1

2

sin2（kπ-

π

6

）=1+

1

2

sin（-

π

3

）=1-

1

2

•

3

2

=1-

3

4

．
（2）由題意可得函數(shù)h（x）=

1

2

+

1

2

cos[2（x-

5π

12

）+

π

6

]+1+

1

2

sin2（x-

π

12

）=

3

2

+

1

2

cos（2x-

2π

3

）+

1

2

sin（2x-

π

6

）
=

3

2

+

1

2

[cos2xcos

2π

3

+sin2xsin

2π

3

]+

1

2

[sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

]
=

3

2

+

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=

3

2

+sin（2x-

π

6

），
且函數(shù)h（x）的圖象和直線y=-k在[0，

π

2

]上只有一個交點．
在[0，

π

2

]上，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，h（x）∈[1，

5

2

]，
再結(jié)合h（x）在[0，

π

2

]上的圖象，可得-k=

5

2

，或1≤-k＜2，
求得k=-

5

2

，或-2＜k≤-1．

點評：本題主要考查兩角和差余弦公式、正弦函數(shù)的圖象特征，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，屬于中檔題題．