如圖，四邊形ABCD中，為正三角形，，，AC與BD交于O點(diǎn)．將沿邊AC折起，使D點(diǎn)至P點(diǎn)，已知PO與平面ABCD所成的角為，且P點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)的射影落在內(nèi)．

（Ⅰ）求證：平面PBD；
（Ⅱ）若時(shí)，求二面角的余弦值。
（1）取BD中點(diǎn)Q，證得Q與O重合。則面PBD
（2）

試題分析：（1）取BD中點(diǎn)Q，則三點(diǎn)共線，即Q與O重合。
則面PBD
（2）因?yàn)锳C面PBD，而面ABCD，所以面ABCD面PBD，則P點(diǎn)在面ABCD上的射影點(diǎn)在交線BD上（即在射線OD上），所以PO與平面ABCD所成的角。以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為軸，OB為軸建空間直角坐標(biāo)系。，因?yàn)锳C面PBD，所以面PBD的法向量，設(shè)面PAB的法向量，又，由，得①，又，由，得
 ②， 在①②中令，可得，則
所以二面角的余弦值
點(diǎn)評：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，將立體問題轉(zhuǎn)化成平面問題，是解決立體幾何問題的一個(gè)基本思路。通過就落實(shí)黨的坐標(biāo)系，利用空間向量，免去了繁瑣的邏輯推理過程，對計(jì)算能力要求較高。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖,是邊長為的正方形，平面，，，與平面所成角為.

(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得平面，并證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

正三棱柱的所有棱長都為4,D為的中點(diǎn).

(1)求證:⊥平面；
(2)求二面角余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

長方體中，

（1）求直線所成角；
（2）求直線所成角的正弦.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是矩形，且平面平面，，．

(Ⅰ) 若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面；
（II）若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求二面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若直線l的方向向量為a＝(1，－1,2)，平面α的法向量為u＝(－2,2，－4)，則(　　)
A．l∥αB．l⊥αC．l?αD．l與α斜交

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如右圖，已知ABCD為正方形，，，.
（1）求證：平面平面；
（2）求點(diǎn)A到平面BEF的距離；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知是邊長為2的等邊三角形，平面，，是上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）若是的中點(diǎn)，求直線與平面所成的角的正弦值；
（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否有可能使平面？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)，且，則等于（　�。�
A．B．9C．D．

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